بعد تک زنجیری و مباحث مریوطه

در این رساله بعد تک زنجیری برای مدول ها معرفی و مطالعه می شود. مدول تک زنجیری مدولی است که هر دو زیرمدول آن با رابطه شمول قابل مقایسه اند. بعد تک زنجیری مقادیر خود را از اعداد ترتیبی اختیار می کند و میزان دور‏ی یا نزدیکی یک مدول از تک زنجیری بودن را نشان می دهد. مبنای تعریف این بعد‏، با نیم نگاهی به بعد کرول‏ و این حقیقت که اگر یک مدول با تمام مدول های خارج قسمتی ناصفرش یکریخت باشد آن مدول تک‏ زنجیری است. مدول های نوتری‏ دسته ای از مدول ها با بعد تک زنجیری هستند. هر مدول با طول متناهی دارای‎ بعد ‏تک زنجیری متناهی است که مقدار آن کمتر یا مساوی با طول آن است. برای هر حلقه ی ‎r و هر عدد ترتیبی ‎آلفا، ‎r‎‎‏-مدول ‎m وجود دارد که بعد تک زنجیری آن ‎آلفا می باشد. نشان خواهیم داد که همه ی مدول های ‎راست‎‎‎‎‎ روی حلقه ی ‎r دارای بعد تک زنجیری هستند اگر و تنها جمع مستقیم شمارا پذیر نامتناهی از r به عنوان یک ‎‎‎‎‎‎ ‎r‎-مدول‎‎ راست ‎ دارای بعد تک زنجیری باشد اگر و تنها اگر ‎r حلقه ی نیم ساده ی آرتینی باشد. مدول زنجیری مدولی است که مجموع مستقیمی از مدول های تک زنجیری باشد. مدول های ‎n-زنجیری را به عنوان تعمیمی از مدول های زنجیری معرفی و مطالعه می کنیم. نشان خواهیم داد که حلقه ی ‎r نیم ساده ی محض است اگر و تنها اگر عدد طبیعی ‎n باشد که هر ‎r‎‎‏-مدول ‎راست‎‎‎‎‎ یک مدول ‎n‎‎‏-زنجیری باشد. مدول ها و حلقه ها با بعد تک زنجیری روی حلقه های تعویض پذیر را به طور ویژه ای بررسی خواهیم کرد. خواهیم دید حلقه ی تعویض پذیر ‎r نوتری (آرتینی) است اگر و تنها اگر هر مدول با تولید متناهی دارای بعد تک زنجیری (متناهی) باشد. یک تعمیم از بعد تک زنجیری را معرفی و مطالعه می کنیم و سپس دوگانی را برای بعد تک زنجیری تحت عنوان بعد دوگان زنجیری معرفی خواهیم کرد. برای این منظور به این نکته توجه می کنیم که مدولی که با تمام زیرمدول های ناصفرش یکریخت باشد یک مدول یکنواخت و نوتری است. بعد دوگان زنجیری به نوعی میزان دوری یک مدول از یکنواخت بودن را اندازه می گیرد. هر مدول از بعد دوگان زنجیری متناهی دارای بعد یکنواخت متناهی است. همه ی مدول های آرتینی دارای بعد دوگان زنجیری هستند. در نهایت نشان می دهیم همه ی ‎r‎‎‏-مدول های راست دارای بعد دوگان زنجیری اند اگر و تنها اگر ‎r‎‏ حلقه ی نیم ساده ی آرتینی باشد.